Ποιό είναι μεγαλύτερο, το eπ ή το πe; H απάντηση μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας ... τον 2ο νόμο της θερμοδυναμικής!
Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα (για παράδειγμα, δείτε: Μια οπτική αποδειξη της ανισότητας πe < eπ ή What is greater: eπ or πe?). Στη συνέχεια παρουσιάζεται μια εναλλακτική λύση που βασίζεται στον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο.
Είναι γνωστό ότι όταν δύο σώματα Α και Β με διαφορετικές θερμοκρασίες έρχονται σε επαφή, η θερμική ενέργεια ρέει από το θερμότερο προς το ψυχρότερο, μέχρι να επιτευχθεί θερμική ισορροπία.
Ας υποθέσουμε ότι το σώμα Α είναι ένα ασυμπίεστο στερεό με σταθερή θερμοχωρητικότητα C, και ότι η αρχική θερμοκρασία του ισούται με τον γνωστό από την γεωμετρία αριθμό π, δηλαδή T1=π=3,1415927...
και ότι το σώμα Β είναι μια τεράστια δεξαμενή θερμότητας σε θερμοκρασία T2=e=2,7182818..., όπου e είναι ο αριθμός του Euler (οι δύο θερμοκρασίες μετρώνται στην απόλυτη κλίμακα θερμοκρασιών ή κλίμακα Κέλβιν). Θεωρούμε ότι τα δύο συστήματα ανταλλάσσουν μεταξύ τους μόνο θερμότητα.
Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν θερμόμετρα με άπειρη ακρίβεια, μπορεί κάποιος να υποστηρίξει ότι δεν είναι δυνατόν οι θερμοκρασίες των δυο συστημάτων να αντιστοιχούν ακριβώς σε αυτούς τους άρρητους αριθμούς. Ωστόσο, για μακροσκοπικά συστήματα με μεγάλο αριθμό βαθμών ελευθερίας, η θερμοκρασία συνήθως θεωρείται ως μια συνεχής μεταβλητή, η οποία, a priori, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή (Σε κάθε περίπτωση, εφόσον χρησιμοποιούνται πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία των αριθμών, ένας μόνο αριθμός μετά το κόμμα είναι αρκετός για να ληφθεί η σωστή σχέση μεταξύ των εκθετικών του ερωτήματος).
Δεδομένου ότι η δεξαμενή είναι τεράστια, η ισορροπία επιτυγχάνεται όταν η θερμοκρασία του ασυμπίεστου στερεού (σώμα Α) γίνει ίση με αυτήν της δεξαμενής (σώμα Β), η θερμοκρασία της οποίας παραμένει πρακτικά σταθερή. Η μεταβολή της εντροπίας του στερεού στο τέλος της διαδικασίας είναι: $ \Delta S^{A}=C \ln \left( \dfrac{T_{2}}{T_{1}} \right)=C[1- \ln(\pi)] \, \, \, (1)$
Η δεξαμενή απορρροφά ποσότητα θερμότητας όση και η μείωση της εσωτερικής ενέργειας του στερεού, δηλαδή:
$ Q^{B}=-Q^{A}=-\Delta U^{A}=C(T_{1}-T_{2})=C(\pi-e) \, \, \, (2) $
και η εντροπία της δεξαμενής μεταβάλλεται ως:
$\Delta S^{B}=\dfrac{Q^{B}}{T^{B}}=C \left( \dfrac{\pi}{e}-1 \right) \, \, \, (3)$
Τελικά από τις εξισώσεις (1) and (3), παίρνουμε για την συνολική μεταβολή της εντροπίας:
$ \Delta S^{tot}= \Delta S^{A} + \Delta S^{B} = C \left [ \dfrac{\pi}{e} - \ln(\pi) \right ] \, \, \, (4) $
Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, η συνολική μεταβολή της εντροπίας σε οποιαδήποτε φυσική διαδικασία δεν είναι ποτέ αρνητική: $\Delta S^{tot} \geq 0 $. Έτσι, από την εξίσωση (4) παίρνουμε:
$\dfrac{\pi}{e} - \ln{\pi} \geq 0 \Rightarrow$ $ e^{\pi} \geq \pi^{e} $
Μπορεί λοιπόν η ανισότητα να αποδείχθηκε επιτυχώς, δεν παύει όμως να αιωρείται το ερώτημα, αν μια τέτοια απόδειξη που χρησιμοποιεί τους νόμους της Φυσικής, είναι στην πραγματικότητα μια απόδειξη με την μαθηματική έννοια.
πηγή: https://arxiv.org/abs/2309.10826