To 1842 o αμερικανός συγγραφέας (και ιστοριών τρόμου) Edgar Allan Poe (1809-1849) έγραψε ένα διήγημα με τίτλο «Το πηγάδι και το εκκρεμές». Στην ιστορία αυτή ο πρωταγωνιστής και πρακτικά ο μοναδικός χαρακτήρας του έργου, του οποίου το όνομα δεν μαθαίνουμε ποτέ, έχει καταδικαστεί από την ισπανική Ιερά Εξέταση στο Τολέδο της Ισπανίας. Ο κρατούμενος βρίσκεται σε μια ονειρική κατάσταση σύγχυσης ριγμένος μέσα σε ένα υγρό και σκοτεινό μπουντρούμι. Καταβάλλει προσπάθειες για να θυμηθεί την δίκη του ή να κατανοήσει την φυσική του κατάσταση, αλλά η εξάντληση των δυνάμεών του τον αποκοιμίζει.
Όταν ο ήρωάς μας ξυπνάει, βρίσκεται δεμένος σε ένα άθλιο κρεβάτι, με το ένα μόνο χέρι του ελεύθερο, για να μπορεί να τρέφεται με το παστό κρέας που μυστηριωδώς βρίσκονταν δίπλα στο κρεβάτι. Παρατηρεί επίσης ένα μεγάλο εκκρεμές ψηλά πάνω από το κρεβάτι του που αρχίζει τα ταλαντώνεται. Ωστόσο η παρουσία των αρουραίων που προσπαθούν να κλέψουν το φαγητό του, αποσπούν την προσοχή του από το εκκρεμές. Εν τω μεταξύ διακρίνει ότι η μάζα του εκκρεμούς που ταλαντώνεται είναι μια αιχμηρή μεταλλική λεπίδα, που συνεχώς κατεβαίνει πλησιάζοντας το πρόσωπό του. Η κάθοδος του εκκρεμούς είναι βασανιστικά αργή δίνοντας την ευκαιρία στον ήρωά μας να εκτιμήσει την κατάστασή του. Το σχοινί με το οποίο είναι δεμένος έχει τυλιχτεί πολλές φορές γύρω από το σώμα του. Αρχικά σκέφτεται ότι η λεπίδα – καθώς το εκκρεμές κατεβαίνει – μπορεί να κόψει πρώτα το σχοινί και να απελευθερωθεί. Αλλά στη συνέχεια διαπιστώνει ότι το μέρος που θα φτάσει πρώτα η λεπίδα του εκκρεμούς είναι το μόνο που δεν καλύπτεται από το σχοινί. Οπότε πρέπει να βρει άλλο τρόπο απελευθέρωσης. Η ιστορία συνεχίζεται καθώς το εκκρεμές κατεβαίνει πλησιάζοντας περισσότερο με ταυτόχρονη αύξηση του πλάτους των ταλαντώσεων.
Όπως και το εκκρεμές Botafumerio (βλέπε σχήμα), το εκκρεμές με την λεπίδα δημιουργεί απειλητικούς ήχους καθώς διασχίζει τον αέρα. Ενώ το εκκρεμές πλησιάζει το σώμα του φυλακισμένου, αυτός υπολογίζει ότι το συνολικό εύρος της κίνησης είναι περίπου τριάντα πόδια. Δεδομένου ότι το δωμάτιο έχει ύψος μόνο σαράντα πόδια αυτή η κίνηση του εκκρεμούς με τόσο μεγάλο πλάτος παραπέμπει στο εκκρεμές Botafumerio.
Τελικά είναι ρεαλιστική η ιστορία του Poe;
Θα μπορούσε η ιερά εξέταση να χρησιμοποιεί ένα μηχανοκίνητο εκκρεμές για βασανιστήριο;
Η απάντηση είναι μάλλον όχι. Το χρονικό πλαίσιο της ιστορίας δεν είναι σαφές, μπορούμε όμως να βάλουμε κάποιους περιορισμούς. Η ισπανική ιερά εξέταση έληξε στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα και το διήγημα αναφέρεται στην κατάληψη της πόλης από Γάλλους. Ίσως να είναι μια νύξη για τους Ναπολεόντειους πολέμους, ίσως όμως και πολύ νωρίτερα.
Ερευνητές έδειξαν ότι τα βασανιστήρια ενώ ήταν μια συνήθης τυπική διαδικασία για την απόσπαση ομολογίας και αποκάλυψης αλήθειας σε κοσμικές ή θρησκευτικές υποθέσεις, δεν χρησιμοποιούνταν εκ των υστέρων από την ιερά εξέταση μετά από κάποια καταδικαστική απόφαση. Και στην ιστορία του Poe η καταδίκη είχε ήδη γίνει. Επιπλέον τα όργανα των βασανιστηρίων της ιεράς εξέτασης ήταν αρκετά απλά και άμεσα.
Η διαδικασία που περιγράφεται στο διήγημα είναι περίπλοκη, δύσκολο να κατασκευαστεί και ως εκ τούτου μη ρεαλιστική. Κάποιοι θεωρούν ότι η έμπνευση του Poe για το «The Pit and the Pendulum» ήταν στην πραγματικότητα μια μεγάλη καμπάνα που είχε δει κάπου. Παρόλα αυτά ρεαλιστική ή όχι η εικόνα της κίνησης ενός εκκρεμούς με λεπίδα είναι τρομακτική. Η περιοδικότητα του εκκρεμούς που είναι τόσο σημαντική στη φυσική, χρησιμοποιείται από τον Edgar Allen Poe για την δημιουργία λογοτεχνικής αγωνίας…
... όταν το μήκος ενός εκκρεμούς αυξάνεται κατά την διάρκεια των ταλαντώσεών του
Σ' αυτό το ερώτημα θα απαντήσουμε στη συνέχεια αναλυτικά.
Καταρχήν ας βρούμε την διαφορική εξίσωση που διέπει την κίνηση ενός απλού εκκρεμούς, με σταθερό μήκος, χρησιμοποιώντας (έτσι για ... να σπάσουμε τη μονοτονία) την Λαγκρανζιανή του συστήματος (Kινητική ενέργεια μείον Δυναμική ενέργεια):
$ L = T-V = \frac{1}{2} m v^2 - m g \ell (1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} m \ell^{2} \dot{\theta}^2 - m g \ell (1 - \cos \theta) $
Από την εξίσωση Lagrange
$ \frac{d}{dt} ( \partial L / \partial \dot{\theta} ) - \partial L / \partial \theta = 0 $
προκύπτει η διαφορική εξίσωση
$ \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell} \sin \theta(t) = 0 $
Η εξίσωση αυτή, παρότι περιγράφει την κίνηση ενός απλού εκκρεμούς (χωρίς τριβές) δεν είναι και τόσο εύκολο να λυθεί. Μόνο στην περίπτωση που θεωρήσουμε ταλαντώσεις με πολύ μικρές γωνίες $ \sin \theta \sim \theta $ τότε προκύπτει η διαφορική εξίσωση του απλού αρμονικού ταλαντωτή:
$ \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell} \theta(t) = 0 $ με τον γνωστό τύπο περιόδου $latex T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} $
Στην περίπτωση που προβληματίζεστε για το ποια είναι η μορφή της ακριβούς λύσης του απλού εκκρεμούς δείτε ΕΔΩ.
Mελετώντας κανείς το πρόβλημα του εκκρεμούς του Έντγκαρ Άλαν Πόε θα μπορούσε να σκεφτεί ως εξής:
Η διαφορική εξίσωση της κίνησης του εκκρεμούς είναι $ \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell} \sin \theta(t) = 0 $
Εφόσον το μήκος του εκκρεμούς $ \ell = \ell(t) $ αυξάνεται αργά συναρτήσει του χρόνου, η εξίσωση που περιγράφει την κίνηση γίνεται ακόμη πιο δύσκολη
$ \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell(t)} \sin \theta(t) = 0 $
Για να πάρουμε μια ιδέα του πως εξελίσσεται η ταλάντωση καθώς αυξάνεται το μήκος, θεωρούμε ένα εύλογο αριθμητικό παράδειγμα θέτοντας: $ \ell(t)=0,1 t + 10 $ (και $g=10 $)
Έτσι προκύπτει
$ \ddot{\theta}(t) + \frac{10}{0,1 t + 10} \sin \theta(t) = 0 $
Η τελευταία εξίσωση επιλύεται αριθμητικά χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Mathematica, και η λύση της συμφωνεί σίγουρα με αυτό που περιγράφει η ιστορία του Poe.
Το γωνιακό πλάτος των ταλαντώσεων αυξάνεται καθώς αυξάνεται το μήκος του εκκρεμούς:
Κι όμως η παραπάνω προσέγγιση είναι εντελώς λανθασμένη!
Είχε κάνει το ίδιο λάθος και ο Poe; (Ο Poe μάλλον δεν αναφέρεται στο γωνιακό πλάτος των ταλαντώσεων, αλλά στο πλάτος του μήκους τόξου που διαγράφει το εκκρεμές.
Το δεύτερο υπολογίζεται από την εξίσωση $s = \theta \ell $, και ενώ το μήκος του εκκρεμούς αυξάνεται, η γωνία των ταλαντώσεων, όπως θα δείξουμε στη συνέχεια, μειώνεται).
Το λάθος οφείλεται στην λάθος κατάστρωση της διαφορικής εξίσωση της κίνησης.
Όταν μεταβάλλεται και το μήκος του εκκρεμούς, τότε, δεδομένου ότι τώρα θα υπάρχει και μια ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας
$ v(t) = \sqrt{v^{2}_r + v_{\theta}^2} = \sqrt{\dot{\ell}^{2}(t) + \dot{\theta}^{2}(t) \ell^{2}(t)} $, η Λαγκαρανζιανή του συστήματος γίνεται:
$ L = T-V = \frac{1}{2} m \dot{\ell}^2 + \frac{1}{2} m \ell^{2} \dot{\theta}^2 - m g \ell (1 - \cos \theta) $
και η εξίσωση Lagrange δίνει
$\frac{d}{dt} ( \partial L / \partial \dot{\theta} ) - \partial L / \partial \theta = 0 \Rightarrow \ell(t) \ddot{\theta}(t) + 2 \dot{\ell}(t) \dot{\theta}(t) + g \sin \theta(t) = 0 $
Θεωρώντας όπως και πριν: $ \ell(t)=0,1 t + 10 $ και $ g=10 $, παίρνουμε τελικά
$ (0,1 t + 10) \ddot{\theta} + 0,2 \dot{\theta} + 10 \sin \theta = 0 $
H λύση $ \theta = \theta(t) $ (με χρήση του Mathematica) φαίνεται στο επόμενο διάγραμμα:
Στο επόμενο διάγραμμα βλέπουμε την γωνιακή ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου, $ \omega = \dot{\theta} = \dot{\theta}(t) $
Tα αποτελέσματα αυτά δείχνουν ότι καθώς το μήκος του εκκρεμούς αυξάνεται, το γωνιακό πλάτος των ταλαντώσεων μικραίνει, όπως επίσης και το πλάτος της γωνιακής ταχύτητας. Επιπλέον η περίοδος των ταλαντώσεων αυξάνεται.
Τα παραπάνω εξετάζονται επίσης και στην εργασία με τίτλο "Radial Forcing and Edgar Allan Poe's Lengthening Pendulum" των Matthew McMillan, David Blasing και Heather M. Whitney. Στην εργασία αυτή υπολογίζεται η λύση $ \theta = \theta(t) $, που βλέπουμε στο επόμενο σχήμα , χρησιμοποιώντας το MATLAB (ταυτόσημο με το παραπάνω διάγραμμα του mathematica)
Το επόμενο σχήμα δείχνει την τροχιά του εκκρεμούς (καθώς αυξάνεται το μήκος του)
H τροχιά δεν συμφωνεί με τον δραματικό τρόπο που περιγράφεται το φαινόμενο στην ιστορία του Έντγκαρ Άλαν Πόε και στη συνέχεια της εργασίας τους οι συγγραφείς προσπαθούν να εξηγήσουν την κίνηση του εκκρεμούς με κάποιου είδους εξαναγκασμένης ταλάντωση...
Μπορεί οι παραπάνω προβληματισμοί για το εκκρεμές του Poe να προσφέρονται κυρίως για "φιλολογικού" τύπου συζητήσεις σαλονιών,
αποτελούν όμως και μια πρώτης τάξης ευκαιρία για εξάσκηση στην απλή φυσική. Και αυτός ήταν ο σκοπός της παρούσας ανάρτησης.