Θα εκτελέσουμε - επιστρατεύοντας την φαντασία μας - το εξής πείραμα: Ισορροπούμε στην κορυφή ενός ημισφαιρικού λείου θόλου μια σημειακή μάζα. Δεν υπάρχει αέρας ή κάποια άλλη αιτία που θα μπορούσε να ασκήσει κάποια επιπλέον δύναμη. Σε μια τέτοια περίπτωση η φυσική διαίσθηση μας λέει ότι, όσο κι αν περιμένουμε η μάζα θα περαμένει ακίνητη στην κορυφή. Και πράγματι αυτό συμβαίνει.
Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήξουμε αν εφαρμόσουμε τους νόμους της κλασσικής νευτώνειας φυσικής. Έτσι, αν το σημειακό σωματίδιο μάζας m γλιστρά πάνω στην ημισφαιρική επιφάνεια η εξίσωση της θέσης του $\vec{r}=\vec{r}(t)$ ικανοποιεί την εξίσωση: $\vec{F}=m \dfrac{d^{2} \vec{r}}{dr^{2}}$, όπου $\vec{F}(\vec{r})$ είναι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο. Αν όμως θεωρήσουμε ως αρχικές συνθήκες τις, $\vec{r}(0)=0$ και $\vec{v}(0)=0$, και κάνουμε τα μαθηματικά, τότε η διαφορική εξίσωση του Νεύτωνα μας δίνει την τετριμμένη λύση: $r(t)=0$. Ότι δηλαδή το σωματίδιο θα παραμένει ακίνητο στην κορυφή του ημισφαιρικού θόλου "εις τους αιώνας των αιώνων. Αμήν".
Κι αν ο θόλος δεν ήταν ημισφαιρικός; Αν είχε ένα διαφορετικό σχήμα (αλλά με την ίδια περιστροφική συμμετρία γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από την κορυφή), υπήρχε περίπτωση η φυσική μας διαίσθηση να μας ξεγελούσε; Θα ήταν δυνατόν το σωματίδιο σε κάποια στιγμή, αυθόρμητα, χωρίς κάποια άλλη εξωτερική αιτία, να γλιστρούσε προς τα κάτω;
Ακούγεται εντελώς τρελό, αλλά μάλλον υπάρχει ένας τέτοιος θόλος! Που αν ισορροπήσουμε στην κορυφή του μια σημειακή μάζα, αυτή θα παραμένει αρχικά ακίνητη, αλλά σε κάποια χρονική στιγμή μπορεί να αρχίσει να γλιστράει προς μια αυθαίρετη κατεύθυνση κατά μήκος του θόλου! Πρόκειται για αποτέλεσμα που προκύπτει μαθηματικά από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης του 2ου νόμου του Νεύτωνα με αρχικές συνθήκες $\vec{r}(0)=0$ και $\vec{v}(0)=0$!
Κι αφού δεν υπάρχει επιπλέον δύναμη (αιτία) γι αυτή την αναπάντεχη κίνηση, κάποιοι ισχυρίζονται ότι στην κορυφή ενός τέτοιου θόλου, ο ντετερμινισμός της νευτώνειας μηχανικής καταρρέει!
Αυτό συμβαίνει στον επονομάζόμενο θόλο ή τρούλο του Norton. Για να περιγράψουμε το σχήμα του θόλου Norton χρησιμοποιούμε την καμπυλόγραμμη απόσταση στην επιφάνεια του θόλου s (με s=0 στην κορυφή) και την υψομετρική απόσταση h από την κορυφή. Για τον θόλο του Norton ισχύει: $h =C s^{3/2} =\left( \frac{2b^{2}}{3g} \right) s^{3/2}$. H σταθερά C για την κομψότητα των μαθηματικών, τέθηκε ίση με (2b2/3g), όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και b μια σταθερά που εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης (μπορείτε να βρείτε την αντίστοιχη εξίσωση που καθορίζει το σχήμα του ημισφαιρικού θόλου;)
Η εφαπτομενική δύναμη κοντά στην γειτονιά της κορυφής του θόλου καθορίζει την κίνηση της μάζας: $F_{\parallel}=m \dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}=mg \sin \theta=mg \dfrac{dh}{ds}=mb^{2}\sqrt{s}$.
Eπομένως, η διαφορική εξίσωση της κίνησης στη γειτονιά της κορυφής του θόλου θα είναι: $s''(t)=b^{2} \sqrt{s(t)}$. Θεωρώντας ως αρχικές συνθήκες τις $s(0)=0$ και $s'(0)=0$, εκτός από την τετριμμένη λύση $s(t)=0$, υπάρχει και η $s(t)=\dfrac{b^4(t-T)^{4}}{144}$ (επιβεβαιώστε το με αντικατάσταση στη διαφορική εξίσωση). Ας σημειωθεί ότι το Τ είναι ένα οποιοδήποτε χρονικό διάστημα (*).
Οι δυο λύσεις γράφονται συνεπτυγμένα ως: $s(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } t \leq T \\ \dfrac{b^4(t-T)^{4}}{144} & \mbox{if } t > T \end{array} \right.$
Σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση η σημειακή μάζα παραμένει ακίνητη στην θέση s=0 μέχρι μια αυθαίρετη χρονική στιγμή t = T. Μετά από αυτή τη χρονική στιγμή κινείται αυθόρμητα προς κάποια τυχαία ακτινική διεύθυνση. Επειδή η ανάλυση δεν παρέχει πρόσθετες πληροφορίες σχετικά με την παράμετρο T, υπάρχουν άπειρες πιθανές λύσεις, καθεμία από τις οποίες αντιστοιχεί σε μια πιθανή τιμή του T. Βλέπουμε λοιπόν ότι για τις ίδιες αρχικές συνθήκες προκύπτουν διαφορετικά αποτελέσματα. Στην κορυφή του θόλου Norton 'φαίνεται' πως ο ντετερμινισμός της νευτώνειας φυσικής καταρρέει!
(*) Το θεώρημα Picard–Lindelöf από την θεωρία των σύνηθων διαφορικών εξισώσεων μας λέει ότι υπάρχει μια και μοναδική λύση της εξίσωσης κίνησης, με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση της δύναμης $F(s)$ να είναι συνάρτηση Lipschitz. Όταν η δύναμη που ασκείται στο σωματίδιο δεν είναι συνάρτηση Lipschitz, ακόμα και σε ένα μόνο σημείο, τότε η διαφορική εξίσωση μπορεί να δώσει άπειρες λύσεις για τις ίδιες αρχικές συνθήκες!
πηγές:
1. John D. Norton, Τhe Dome: A Simple Violation of Determinism in Newtonian Mechanics
2. David B. Malament, Norton’s Slippery Slope
3. Samuel C. Fletcher, What Co