Η ελαφρότητα του συνόλου

Γιατί ένα σύστημα έχει μικρότερη μάζα από το άθροισμα μαζών των μεμονωμένων συστατικών του; 

Αν βάλετε σε μια ζυγαριά 10 κύβους, ο καθένας με μάζα 10g, τότε προφανώς θα διαπιστώσετε ότι η συνολική μάζα τους είναι 100g. Aν η ζυγαριά δείξει, ας πούμε, 92 g, τότε θα υποθέσετε απλά ότι ένας κύβος ή κομμάτι κύβου παράπεσε έξω από την ζυγαριά. Όμως αν πάτε στον μικρόκοσμο και ζυγίσετε π.χ. το απλούστερο άτομο στον κόσμο, ένα άτομο υδρογόνου (τα συστατικά του οποίου είναι ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο), τότε θα δείτε με έκπληξη ότι η μάζα του είναι μικρότερη από το άθροισμα των μαζών του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου σε ελεύθερη κατάσταση. Πως γίνεται το άτομο να έχει μικρότερη μάζα από τα συστατικά του;

 

Το σύστημα του ατόμου του υδρογόνου μοιάζει με το φανταστικό σύστημα μαγνητών της παραπάνω εικόνας. Οι μαγνήτες όταν είναι απομακρυσμένοι ο ένας από τον άλλον ζυγίζουν περισσότερο, παρά όταν είναι ενωμένοι μεταξύ τους ( …στην πραγματικότητα και το σύστημα των μαγνητών θα εμφανίσει έλλειμα μάζας, αλλά μη ανιχνεύσιμο από την ταπεινή ζυγαριά, οπότε στην παραπάνω εικόνα μόνο τα νούμερα είναι φανταστικά).

Η διαφορά των μαζών (το έλλειμα μάζας) σχετίζεται με αυτό που ονομάζουμε ενέργεια σύνδεσης. Καταρχάς είναι πολύ εύκολο να προσεγγίσουμε (ως άσκηση σχολικής φυσικής) την ενέργεια σύνδεσης στο άτομο του υδρογόνου. Αυτή δεν είναι τίποτε άλλο από την ολική ενέργεια του συστήματος, το άθροισμα της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας πρωτονίου-ηλεκτρονίου και της κινητικής ενέργειας του ηλεκτρονίου: $E=K+U=- \dfrac{k e^{2}}{2r_{0}} $, όπου k η σταθερά Coulomb, e το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου (και του πρωτονίου) και r₀ (=0,53×10^-10m) η ακτίνα του ατόμου του υδρογόνου. Από την παραπάνω εξίσωση παίρνουμε την γνωστή τιμή -13,6eV, που αντιστοιχεί στην ενέργεια ιονισμού του ατόμου του υδρογόνου [εκπλήσσει το γεγονός ότι οι παραπάνω υπολογισμοί περιέχονται ακόμα (!) στο βιβλίο φυσικής γενικής παιδείας Β’ Λυκείου].

Η ισοδυναμία μάζας-ενέργειας

Την σχέση μεταξύ ελλείματος μάζας και ενέργειας σύνδεσης, μας την δίνει η ειδική σχετικότητα: αν Ε είναι η ενέργεια, m η μάζα, p ορμή, και c η ταχύτητα του φωτός, τότε ισχύει η εξίσωση:

Ε² = (mc²)² + (pc)²

Θεωρώντας μηδέν την ορμή, παίρνουμε την πιο διάσημη εξίσωση της φυσικής:

E = mc²

η οποία μας λέει πως η μάζα ισοδυναμεί με την ενέργεια ή πιο λογο-τεχνικά, ότι η μάζα είναι ενέργεια που δεν κινείται.

Επομένως, η μάζα του ελεύθερου πρωτονίου m_p, η μάζα του ελεύθερου ηλεκτρονίου m_e και η μάζα του ατόμου του υδρογόνου m_H, πρέπει να συνδέονται με την ενέργεια σύνδεσης του υδρογόνου ή την ενέργεια που απαιτείται για να απομακρύνουμε το πρωτόνιο και το ηλεκτρόνιο σε άπειρη μεταξύ τους απόσταση, με την σχέση: Ε_{ιονισμού}=13,6 eV=ΔΜ∙c²=(m_p+m_e-m_H)c².

Αξίζει να κάνουμε μια φορά στη ζωή μας αυτόν τον αριθμητικό υπολογισμό. Δηλαδή, να ανατρέξουμε στην βιβλιογραφία και να βρούμε τις πιο πρόσφατα μετρηθείσες τιμές των μαζών ηλεκτρονίου, πρωτονίου, ατόμου του υδρογόνου και να υπολογίσουμε την διαφορά ΔM=(m_p+m_e-m_H). Για παράδειγμα:

Υπογραμμισμένες με κόκκινο είναι οι μάζες του ηλεκτρονίου, του πρωτονίου και του ατόμου του υδρογόνου από την πρόσφατη βιβλιογραφία. Οι μάζες εκφράζονται σε ατομικές μονάδες μάζες (1u=931,494,063 eV). H μάζα του ατόμου του υδρογόνου εκφράζεται σε μu (=10^-6u). Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές παίρνουμε: ΔM=(m_p+m_e-m_H)=1.43×10^-8u=13,32eV (σε συμφωνία με την τιμή 13.6 eV μέσα στα όρια των σφαλμάτων). Αν κάνουμε το ίδιο για ένα άτομο ηλίου παίρνουμε, ΔM=M_α+2M_e−M_He=8,48×10⁻⁸u ή 79 eV που είναι η μετρούμενη ενέργεια διπλού ιονισμού ή ενέργεια σύνδεσης του ατόμου του ηλίου.

Αποδεικνύεται λοιπόν ότι το άτομο του υδρογόνου είναι λίγο ελαφρύτερο από το άθροισμα των μαζών των συστατικών του (πρωτόνιο και ηλεκτρόνιο). Η διαφορά (m_p+m_e-m_H=13,6 eV) αντιστοιχεί στην ενέργεια ιονισμού του υδρογόνου. Όμως επειδή αυτή η διαφορά είναι μόνο το 0,0000014% της μάζας ηρεμίας του ατόμου του υδρογόνου, σχεδόν ποτέ δεν αναφερόμαστε σ’ αυτό το έλλειμα μάζας.

Το ίδιο φαινόμενο εμφανίζεται και στους πυρήνες των ατόμων⁽¹⁾: οι πυρήνες είναι ελαφρύτεροι από τα συστατικά τους (πρωτόνια και νετρόνια), αλλά εδώ το έλλειμα μάζας δεν είναι καθόλου αμελητέο. Για παράδειγμα, η ενέργεια σύνδεσης του απλούστερου πυρήνα στον κόσμο, του δευτερίου ²H, ο οποίος συνίσταται από ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο, είναι 2,2ΜeV ή το 0,12% της μάζας του πυρήνα δευτερίου – αρκετές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη σε σχέση με την ενέργεια σύνδεσης του ατόμου του υδρογόνου.

Η κατανόηση του ελλείματος μάζας

Το φαινόμενο του ελλείματος μάζας είναι πιο εύκολο να κατανοηθεί έχοντας κατά νου τα άτομα, όπου υπεισέρχονται μόνο οι ηλεκτρικές δυνάμεις, παρά τους πυρήνες όπου εμφανίζονται και οι ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις. Στα άτομα του υδρογόνου (και του ηλίου) οι εμπλεκόμενες μάζες μετρώνται με εκπληκτική ακρίβεια. Αποτελούν ξεκάθαρα παραδείγματα ότι η μείωση μάζας σε ένα δέσμιο σύστημα δεν είναι χαρακτηριστικό μόνο των πυρήνων. Έτσι μπορούμε να απαλλαχθούμε από την πολυπλοκότητα της ισχυρής πυρηνικής δύναμης και να κατανοήσουμε το φαινόμενο διαμέσου του οικείου κλασσικού ηλεκτρομαγνητισμού, αφού το άτομο συγκρατείται εξ ολοκλήρου από ηλεκτρικές δυνάμεις.

Ένα ηλεκτρόνιο είναι αρνητικά φορτισμένο και συνοδεύεται πάντα … από το ηλεκτρικό του πεδίο (τα ίδια ισχύουν και για ένα πρωτόνιο με μόνη διαφορά ότι το ηλεκτρικό πεδίο έχει αντίθετη φορά). Δεδομένου ότι αυτό το ηλεκτρικό πεδίο είναι αχώριστο από το ηλεκτρόνιο, πρέπει να το θεωρήσουμε ως αναπόσπαστο μέρος της οντότητάς του και να περιμένουμε ότι θα έχει αντίκτυπο σε όλες τις ιδιότητες των ηλεκτρονίων. Είναι γνωστό ότι τα ηλεκτρικά πεδία έχουν ενέργεια, και συγκεκριμένα ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε, έχει ενεργειακή πυκνότητα, u_E που υπολογίζεται από την εξίσωση u_E = ε₀E²/2. Επομένως, το ηλεκτρικό πεδίο γύρω από ένα ηλεκτρόνιο συνοδεύεται από ενέργεια, και εφόσον αυτή η ενέργεια ‘δεν κινείται’ πρέπει να εμφανίζεται ως μάζα. Αυτή η μάζα συνδέεται με το ηλεκτρόνιο μέσω του ηλεκτρικού του πεδίου και πρέπει να συμβάλλει στη συνολική μάζα του ηλεκτρονίου.

Η μάζα ενός ηλεκτρονίου δεν είναι εντελώς εντοπισμένη αλλά εν μέρει κατανεμημένη σε όλο το ηλεκτρικό πεδίο που το περιβάλλει. Φαίνεται πλέον πιο εφικτό να εξηγήσουμε την ‘εξαφάνιση’ της μάζας όταν ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο συνδέονται σχηματίζοντας το άτομο του υδρογόνου, αν μέρος της μάζας κατανέμεται στο ηλεκτρικό πεδίο. Αρκεί να δούμε πιο προσεκτικά το ηλεκτρικό πεδίο του ατόμου.

Ακροβατώντας μεταξύ μάζας και ηλεκτρικού πεδίου

Όταν το πρωτόνιο και το ηλεκτρόνιο σχηματίζουν το άτομο του υδρογόνου, το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο έξω από το άτομο μηδενίζεται αφού τα ηλεκτρικά πεδία του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου έξω από το άτομο εξουδετερώνονται. Αυτή η ακύρωση αφαιρεί επίσης τμήμα της ενέργειας των ηλεκτρικών πεδίων, οπότε μειώνεται η μάζα του συνδεδεμένου συστήματος.

Μπορούμε να κάνουμε μια χοντρική εκτίμηση για το μέγεθος αυτής της μείωσης. Από τον νόμο του Coulomb το ηλεκτρικό πεδίο Ε γύρω από ένα ηλεκτρόνιο είναι: E =e/(4πε₀r²). Η συνολική ενέργεια, U_E, από μια μικρή απόσταση⁽²⁾ r₀ από το ηλεκτρόνιο μέχρι το άπειρο θα είναι:

$U_{E}(r_{0})=\int_{r_{0}}^{\infty}\epsilon_{0} \frac{E^{2}}{2} 4\pi r^{2}dr=\dfrac{e^{2}}{8\pi \epsilon_{0} r_{0}} $

Αν τώρα υποθέσουμε ότι η αλληλο-εξουδετέρωση του ηλεκτρικού πεδίου του ηλεκτρονίου με το ηλεκτρικό πεδίο του πρωτονίου συμβαίνει από το κατά προσέγγιση μέγεθος ενός ατόμου υδρογόνου και μετά⁽³⁾, δηλαδή από μια απόσταση r₀≈10⁻¹⁰m και μετά, η παραπάνω εξίσωση δίνει: U_E(r₀)≈7 eV. Ίδια τιμή θα έχει και η ενέργεια που αφαιρείται από το ηλεκτρικό πεδίο του πρωτονίου και επομένως η συνολική μείωση της ενέργειας ηρεμίας (ή μάζας) θα είναι διπλάσια, δηλαδή περίπου 14 eV, σε πολύ καλή συμφωνία με με την τιμή 13,6eV.

παρατηρήσεις

(1) Παρόμοια κατάσταση έχουμε και στα βαρυτικά συστήματα. Για παράδειγμα το σύστημα Γης-Σελήνης, πρέπει να έχει συνολική μάζα μικρότερη από το άθροισμα των μαζών Γης και Σελήνης όταν αυτές δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Πόσο μικρότερη; Όση απόλυτη τιμής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος: U=−GM_EarthM_Moon/R, όπου R = 3,8×10⁸ m, είναι η απόσταση Γης-Σελήνης. Αυτό μας δίνει μια ενέργεια σύνδεσης η οποία, αν διαιρεθεί με c², ισούται με 8×10¹¹kg. Με άλλα λόγια, το σύστημα Γης-Σελήνης είναι 800 εκατομμύρια τόνους ελαφρύτερο σε σχέση με το άθροισμα των δυο απομονωμένων μαζών Γης και Σελήνης. Παρότι 800 εκατομμύρια τόνοι μπορεί να ακούγονται ως μεγάλη μάζα, δεν είναι. Πρέπει να το συγκρίνουμε με τη μάζα της Γης που είναι 6×10²⁴ kg (ή την μάζα της Σελήνης 7.3×10²²kg). Eπομένως αυτή η μείωση μάζας είναι όντως πολύ μικρή ώστε να έχει μετρήσιμες συνέπειες. 

(2) Υπάρχει μια απόκλιση για μικρές αποστάσεις, επομένως πρέπει να εξαιρέσουμε την περιοχή που βρίσκεται πιο κοντά στο ηλεκτρόνιο. Γνωρίζουμε επίσης ότι υπάρχουν κβαντικές διορθώσεις στο ηλεκτρικό πεδίο για r≤10⁻¹³m, επομένως δεν μπορούμε να εμπιστευτούμε τους υπολογισμούς μας εκεί. Πρόκειται για ένα ενδιαφέρον θέμα που παραπέμπει στο πρόβλημα των απειρισμών στις κβαντικές θεωρίες πεδίου, αλλά αυτό είναι μια άλλη ιστορία, αφού εδώ μας ενδιαφέρουν οι μεγαλύτερες αποστάσεις.

(3) Το τι συμβαίνει μέσα στο άτομο είναι δύσκολο να το δούμε, αλλά από αριθμητικές εκτιμήσεις φαίνεται ότι έχουμε περίπου τόσο εποικοδομητική όσο και καταστροφική συμβολή μεταξύ των πεδίων και ως εκ τούτου καμία επίδραση στην συνολική μάζα.

βιβλιογραφία:
1.Krane, K. S (1987). Introductory Nuclear Physics. John Wiley & Sons. 2. N-E Bomark 2021 Eur. J. Phys. 42 035403

 2/11/2021